Про системи числення з непарною базою

Ці­ка­во, що по­при схи­ль­ність лю­ди­ни до об­чис­лень на ба­зі 5 (за кіль­кіс­тю па­ль­ців на руці), усі відо­мі сис­те­ми, яки­ми ши­ро­ко ко­рис­ту­ва­ло­ся люд­с­т­во (до роз­по­всю­джен­ня дві­йко­вої ра­зом з ком­пʼю­те­ри­за­ці­єю), є пар­ни­ми крат­ни­ми 5 — та­ки­ми є і аси­ро-ва­ви­лон­сь­ка (на ба­зі 60=5×12), і по­хід­на від неї ін­до-араб­сь­ка де­сят­ко­ва (10=5×2), яка на­сь­о­год­ні за­сто­со­ву­є­ть­ся в усьо­му сві­ті, а та­кож і ме­зо­аме­ри­кан­сь­ка (на ба­зі 20=5×4). По­при те, що особ­ли­вість чис­ла 5 про­с­лід­ко­ву­є­ть­ся в усіх мо­вах — від аф­ри­кан­сь­ких до ав­с­т­ра­лі­йсь­ких — зо­кре­ма в ук­ра­їн­сь­кій са­ме з пʼя­тір­ки по­чи­на­є­ть­ся справ­ж­ня мно­жи­на (4 ро­ки, але 5 ро­ків), — при за­пи­су, оче­вид­но, 5 бу­ло ма­ло, то­му про­дов­жу­ва­ли при­ду­му­ва­ти ок­ре­мі сим­во­ли до пев­ної, зав­жди пар­ної, кіль­кос­ти пʼя­ті­рок — аж до ви­най­ден­ня по­зи­ці­й­ної сис­те­ми за­пи­су.

Ці­ка­во, що по­зи­ці­й­ний за­пис (в то­му чис­лі дро­бів) ви­ни­кає ра­ні­ше, ніж кон­цеп­ція чис­ла 0, і, за­мість від­по­від­ної циф­ри, в по­зи­ці­й­но­му за­пи­сі ча­с­то ви­ко­рис­то­ву­є­ть­ся про­с­то пропуск. А вже ідея відʼ­єм­них чи­сел зʼяв­ля­є­ть­ся ду­же піз­но.

Те­пер, ко­ли вже піз­но щось змі­ню­ва­ти, ми зна­є­мо, що не­пар­на ос­но­ва для за­пи­су чи­сел має, на­при­клад, ту пе­ре­ва­гу, що в ній не іс­нує про­б­ле­ми ок­руг­лен­ня. А ще, си­мет­рич­ний за­пис дозво­ляє за­пи­су­ва­ти єди­ним чи­ном по­зи­тив­ні й нега­тив­ні чис­ла. Ме­ні зда­є­ть­ся, що як­би так ста­ло­ся, що лю­ди ви­най­шли нуль та відʼ­єм­ні чис­ла до то­го, як при­ду­ма­ли по­зи­ці­й­ну сис­те­му за­пи­су, ми б сь­о­год­ні ма­ли са­ме не­пар­ну і са­ме з си­мет­рич­ним за­пи­сом. Тоб­то сис­те­му — на­при­клад, оди­на­д­цят­ко­ву, — з ну­лем, пʼя­ть­ма по­зи­тив­ни­ми цифра­ми (1,2,3,4,5) і пʼя­ть­ма нега­тив­ни­ми (1,2,3,4,5).

Яким чи­ном та­ка сис­те­ма мог­ла би ви­ник­ну­ти? Для цьо­го, як я ба­чу, у від­по­від­ній мо­ві чис­лів­ни­ки по­вин­ні бу­ли би змі­ню­ва­ти­ся за осо­ба­ми. Так са­мо, як у ре­чен­нях «я даю то­бі три яб­лу­ка» і «ти да­єш ме­ні три яб­лу­ка» змі­ню­є­ть­ся діє­сло­во „да­ва­ти“, мож­на лег­ко уя­ви­ти со­бі мо­ву, в якій сло­во „три“ теж від­мі­ня­є­ть­ся від­по­від­но до то­го, чи дія є від пер­шої осо­би, а чи від дру­гої. У та­кій мо­ві при­род­ним чи­ном ма­ло би роз­ви­ну­ти­ся си­мет­рич­не спри­й­нят­тя чи­сел від­по­від­но до то­го, як збіль­шу­є­ть­ся або змен­шу­є­ть­ся кіль­кість ре­чей при пе­ре­да­ван­ні від од­ної (пер­шої) осо­би до дру­гої. Ме­ні зда­є­ть­ся, що та­ка по­дві­й­на влас­ти­вість чи­сел до­во­лі при­род­ним чи­ном асо­ці­ю­є­ть­ся з до­да­ван­ням та від­ні­ман­ням — як­що ти да­єш щось ме­ні, то в ме­не це до­да­є­ть­ся, а в те­бе від­ні­ма­є­ть­ся, і на­в­па­ки, — та­кий со­бі по­дві­й­ний об­лік на рів­ні гра­ма­ти­ки. То­му по­зи­тив­ні й нега­тив­ні чис­ла від­по­чат­ку спри­й­ма­ли­ся б си­мет­рич­но, а від­так мог­ла та­кож зʼя­ви­ти­ся ідея ну­ля ще до не­об­хід­нос­ти за­пов­ню­ва­ти чи­мось пропус­ки в по­ряд­ках.

На ос­тан­ньо­му ета­пі, ко­ли ви­ни­кає не­об­хід­ність за­пи­су­ва­ти по­ряд­ки, ви­бір не­пар­ної ба­зи, зда­є­ть­ся ме­ні, був би в цьо­му ви­пад­ку най­більш при­род­ним. Ідея від­ні­ман­ня від ба­зи, влас­не, бу­ла на­справ­ді ре­а­лі­зо­ва­на на­віть без ви­ко­рис­тан­ня по­ряд­ків: на­при­клад, рим­сь­кі чис­ла Ⅳ або Ⅸ озна­ча­ю­ть­ся че­рез від­ні­ман­ня оди­ни­ці від біль­ш­о­го про­с­ті­ш­о­го для за­пи­су чис­ла (Ⅴ або Ⅹ). І як­що ми вже ма­є­мо відʼ­єм­ні циф­ри, ви­бір ба­зи стає оче­вид­ним — та­ким, щоб піс­ля най­біль­ш­о­го від­ні­ман­ня (до­да­ван­ня нега­тив­н­о­го) від ба­зи ми оде­ржа­ли б на­ступ­не на­ту­раль­не чис­ло. То­му як­що в нас є циф­ри 1,2,3,4,5 і 1,2,3,4,5, то чис­ло шість логіч­но за­пи­са­ти за до­по­м­о­гою від­ні­ман­ня від ба­зи як 15, а мі­нус шість, від­по­від­но, як 15. От­же 10 має бу­ти за­пи­сом для оди­на­д­ця­ти, а 10 — для мі­нус оди­на­д­ця­ти.

За­га­лом, ду­маю, ці­ка­вий був би роз­ви­ток ма­те­ма­ти­ки в та­кій ци­ві­лі­за­ції. На­йо­че­вид­ні­шим на­с­лід­ком, зви­чай­но ж, є знач­но про­с­ті­ша таб­ли­ця мно­жен­ня. З си­мет­рич­ни­ми цифра­ми таб­ли­ця мно­жен­ня стає, прак­тич­но, вчет­ве­ро мен­шою. І як­що нам для де­сят­ко­вої сис­те­ми по­тріб­но ви­в­ча­ти таб­ли­цю мно­жен­ня на (0 і 1 — три­ві­аль­но) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, то для мно­жен­ня в оди­на­д­цят­ко­вій — ли­ше на 2, 3, 4 і 5, ос­кіль­ки на 2,3,4 і 5 вся таб­ли­ця по­вто­рю­є­ть­ся з точ­ніс­тю до за­мі­ни цифр на си­ме­рич­ні. При­чо­му, ос­кіль­ки множ­ни­ка два, нам до­ве­ло­ся б за­па­мʼя­то­ву­ва­ти всь­о­го ли­ше де­сять різ­них доб­ут­ків: 2×2=4, 2×3=15, 2×4=13, 2×5=11, 3×3=12, 3×4=11, 3×5=14, 4×4=15, 4×5=22 і 5×5=23.

Те, що по­ло­ви­ну не мож­на за­пи­са­ти у ви­гля­ді скін­чен­н­о­го оди­на­д­цят­ко­в­о­го дро­бу (як і в будь-якій ин­шій сис­те­мі з не­пар­ною ос­но­вою), ду­маю, не ста­ло би ве­ли­кою про­б­ле­мою. Ми ж бо не ду­же стражда­є­мо від то­го, що не мо­же­мо за­пи­са­ти тре­ти­ну як скін­чен­ний де­сят­ко­вий дріб. Але, ймо­вір­но, не­скін­чен­ність за­пи­су ре­зуль­та­ту ді­лен­ня на­в­піл (і на ин­ші чис­ла мен­ші оди­на­д­ця­ти) знай­шло б своє від­об­ра­жен­ня в на­род­ній твор­чос­ті.

Далі...