субота, 23 липня 2022 р.

Про системи числення з непарною базою


Цікаво, що попри схильність людини до обчислень на базі 5 (за кількістю пальців на руці), усі відомі системи, якими широко користувалося людство (до розповсюдження двійкової разом з компʼютеризацією), є парними кратними 5 — такими є і асиро-вавилонська (на базі 60=5×12), і похідна від неї індо-арабська десяткова (10=5×2), яка насьогодні застосовується в усьому світі, а також і мезоамериканська (на базі 20=5×4). Попри те, що особливість числа 5 прослідковується в усіх мовах — від африканських до австралійських — зокрема в українській саме з пʼятірки починається справжня множина (4 роки, але 5 років), — при запису, очевидно, 5 було мало, тому продовжували придумувати окремі символи до певної, завжди парної, кількости пʼятірок — аж до винайдення позиційної системи запису.

Цікаво, що позиційний запис (в тому числі дробів) виникає раніше, ніж концепція числа 0, і, замість відповідної цифри, в позиційному записі часто використовується просто пропуск. А вже ідея відʼємних чисел зʼявляється дуже пізно.

Тепер, коли вже пізно щось змінювати, ми знаємо, що непарна основа для запису чисел має, наприклад, ту перевагу, що в ній не існує проблеми округлення. А ще, симетричний запис дозволяє записувати єдиним чином позитивні й негативні числа. Мені здається, що якби так сталося, що люди винайшли нуль та відʼємні числа до того, як придумали позиційну систему запису, ми б сьогодні мали саме непарну і саме з симетричним записом. Тобто систему — наприклад, одинадцяткову, — з нулем, пʼятьма позитивними цифрами (1,2,3,4,5) і пʼятьма негативними (1,2,3,4,5).

Яким чином така система могла би виникнути? Для цього, як я бачу, у відповідній мові числівники повинні були би змінюватися за особами. Так само, як у реченнях «я даю тобі три яблука» і «ти даєш мені три яблука» змінюється дієслово „давати“, можна легко уявити собі мову, в якій слово „три“ теж відміняється відповідно до того, чи дія є від першої особи, а чи від другої. У такій мові природним чином мало би розвинутися симетричне сприйняття чисел відповідно до того, як збільшується або зменшується кількість речей при передаванні від одної (першої) особи до другої. Мені здається, що така подвійна властивість чисел доволі природним чином асоціюється з додаванням та відніманням — якщо ти даєш щось мені, то в мене це додається, а в тебе віднімається, і навпаки, — такий собі подвійний облік на рівні граматики. Тому позитивні й негативні числа відпочатку сприймалися б симетрично, а відтак могла також зʼявитися ідея нуля ще до необхідности заповнювати чимось пропуски в порядках.

На останньому етапі, коли виникає необхідність записувати порядки, вибір непарної бази, здається мені, був би в цьому випадку найбільш природним. Ідея віднімання від бази, власне, була насправді реалізована навіть без використання порядків: наприклад, римські числа Ⅳ або Ⅸ означаються через віднімання одиниці від більшого простішого для запису числа (Ⅴ або Ⅹ). І якщо ми вже маємо відʼємні цифри, вибір бази стає очевидним — таким, щоб після найбільшого віднімання (додавання негативного) від бази ми одержали б наступне натуральне число. Тому якщо в нас є цифри 1,2,3,4,5 і 1,2,3,4,5, то число шість логічно записати за допомогою віднімання від бази як 15, а мінус шість, відповідно, як 15. Отже 10 має бути записом для одинадцяти, а 10 — для мінус одинадцяти.

Загалом, думаю, цікавий був би розвиток математики в такій цивілізації. Найочевиднішим наслідком, звичайно ж, є значно простіша таблиця множення. З симетричними цифрами таблиця множення стає, практично, вчетверо меншою. І якщо нам для десяткової системи потрібно вивчати таблицю множення на (0 і 1 — тривіально) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, то для множення в одинадцятковій — лише на 2, 3, 4 і 5, оскільки на 2,3,4 і 5 вся таблиця повторюється з точністю до заміни цифр на симеричні. Причому, оскільки множника два, нам довелося б запамʼятовувати всього лише десять різних добутків: 2×2=4, 2×3=15, 2×4=13, 2×5=11, 3×3=12, 3×4=11, 3×5=14, 4×4=15, 4×5=22 і 5×5=23.

Те, що половину не можна записати у вигляді скінченного одинадцяткового дробу (як і в будь-якій иншій системі з непарною основою), думаю, не стало би великою проблемою. Ми ж бо не дуже страждаємо від того, що не можемо записати третину як скінченний десятковий дріб. Але, ймовірно, нескінченність запису результату ділення навпіл (і на инші числа менші одинадцяти) знайшло б своє відображення в народній творчості.

Нема коментарів

Дописати коментар